子基是与拓扑有关的概念。设(X,T)为拓扑空间，S⊂T，若S的元的所有有限交的族为T的基，则称S为拓扑空间(X，T)的子基或拓扑S的子基，每一个非空集族S必是X=∪S上的某个拓扑的子基，并且该拓扑由S惟一确定，它是包含S的最小拓扑，一个拓扑可以有不同的子基，但子基确定惟一的拓扑。
子基定义
设
是拓扑空间，
。若
为
的所有包含
的拓扑的交，则称
是拓扑
的子基，
中的元素称为子基开集。
等价定义为
设
是拓扑空间，
，若
中元素的一切有限交之族是集合X上的拓扑
的基，则称
是拓扑
的子基，
中的元素称为子基开集。
子基相关概念
子基拓扑基
设
是拓扑空间，
，若
的元素都可表示为
中某些元素的并，即对于
，存在
使得
，则称
是拓扑
的基或拓扑基，也称为拓扑空间
的基或拓扑基，
中的元素称为基开集。
子基邻域基
设(X,τ)是拓扑空间，τ‘为X中一点x的开邻域族。若给定包含x的任一开集U，τ‘中均存在开邻域V⊆U，则称τ‘为邻域基。
子基例子
例1 设
是任意拓扑空间，则
就是它的基。
例2 设X是非空集，记
则
是集合X上的离散拓扑的基。
子基相关定理
子基定理1
设
是拓扑空间，
,则
是拓扑
的基的充分必要条件是对于任意
，任意
，存在
，使得
。
证明： 必要性：对于
，因为
是
的基，从而
其中
，所以对于任意
，存在
，使得
充分性：任取
，若
，则取
，从而
，若
，则对于任意
，存在
使得
于是
，记
，因此
，又
，所以
是
的基。
子基定理2
设
是非空集X的一个子集族，则
是集合X 上的某一拓扑的基的充分必要条件是
满足下列条件
(1)
；
(2)对于任意
是
中某些元素的并。
若
满足上述两个条件，则集合X上以
为基的拓扑是唯一的，此拓扑称为以
为基生成的集合X上的拓扑。
子基定理3
设X为非空集，
，并且
，则集合X上存在唯一拓扑以
为子基，这个拓扑称为以
为子基生成的集合X上的拓扑。
证明 记
={B
B是
中有限个元素的交}.
因为
，从而
，又对于
中任意两个元素的交是
中元素的有限交，可见
的任意两个元素的交属于
，于是这个交是
中元素的并。因此，从定理2中条件的充分性可知，集合X上有拓扑
以
为它的基，所以
是此拓扑
的子基，若
*是以
为子基的集合X上的另一拓扑，则根据子基定义，
*是以
为基，所以，由定理2可知
*=
。
例3 设
，则以
为子基生成的集合X上的拓扑是
