五年级奥数

进行有关图形面积的计算，有时需要对图形进行平移、旋转、割补、比较等的处理，这样要添加一些线，这些在解题时添加的线叫做辅助线，通常画成虚线。

例1：右图三角形ABC是直角三角形，BDEF是正方形，D、E、F分别在三角形的三条边上，AF长4厘米，DC长9厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米？解：只对已知图形进行推理，难于求出有关的长度和面积，但如右图那样在AC的另一侧作一个与三角形ABC相同的三角形AGC，并分别延长DE于AG交AG于H，延长FE于CG交CG于K，很明显，ABCG是一个长方形，在这个长方形中，甲=乙，丙=丁，戊=己，并且己的长EK=DC=9厘米，己的宽HE=AF=4厘米，己的面积是9×4=36（平方厘米），戊的面积也是36平方厘米，36=6×6，即BF=BD=6厘米，AB=4＋6=10（厘米），BC=6＋9=15（厘米），三角形ABC的面积是10×15÷2=75（平方厘米）。三角形ABC的面积是75平方厘米。例2：右图ABCD是长方形，在长方形中三角形，CDF的面积是12，三角形CEF的面积是6，求长方形ABCD的面积。解：连结AE，如右图。三角形AEC和三角形DEC都以EC为底，这 两个三角形的高都等于长方形的宽，两个三角形的面积相等，那么三角形AEF的面积与三角形CDF的面积相等，都等于12。而三角形CDF和三角形CEF分别以DF和EF为底，两个三角形有相同的高，CDF的面积是CEF的12÷6=2倍，DF的长也是EF的2倍，三角形ADF和三角形AEF分别以DF和EF为底，两个三角形的高相同，DF是EF的2倍，三角形ADF的面积是三角形AEF的2倍，三角形ADF的面积是12×2=24，那么长方形ABCD的面积是（12＋24）×2=72。长方形ABCD的面积是72。例3：右图ABCD是边长为12厘米的正方形，CEFG是长方形，它的长是15厘米，宽是多少厘米。解：连结DG（如右图）。三角形CDG以CD为底，它的高也等于正方形的边长，三角形CDG的面积是正方形ABCD的一半，三角形CDG如果以CG为底，它的高等于长方形的宽，CDG的面积是长方形CEFG的一半，因此，长方形CEFG和正方形ABCD面积相等，它的宽等于12×12÷15=9.6（厘米）。宽是9.6厘米。例4：右图ABCD是长方形，AE长6厘米，ED长18厘米，F是EB的中点，AB长12厘米，求图中阴影部分的面积。解：连结AF（如右图），三角形ABF和三角形AEF分别以BF和FE为底，两个三角形的底相等，高相同，它们的面积相等。而三角形ABE的面积是6×12÷2=36（厘米），三角形AFE的面积是36÷2=18（厘米），三角形AFE和三角形DFE分别以AE和ED为底，两个三角形的高相同，ED是AE的18÷6=3倍，三角形DFE的面积是AFE的3倍，是18×3=54（平方厘米），那么，图中阴影部分的面积是（6＋18）×12－（54＋36）=198（平方厘米）。阴影部分的面积是198平方厘米。例5：右图一个四边形ABCD中，已知AD=7，BC=3，角B和角D是直角，角A是45°，求这个四边形的面积。解：这个四边形可以看作是一个等腰直角三角形ADE切掉了一个等腰直角三角形BCE，如右图。就是说把原四边形的边AB、DC延长，相交于E，因为角A是45°，角D是90°，角E = 180°－45°－90°=45°，即三角形ADE是等腰直角三角形，又因为角ABC是90°，角CBE也是90°，角BCE = 180°－45°－90°=45°，所以三角形BCE也是等腰直角三角形。那么四边形ABCD的面积是这两个等腰直角三角形面积之差，即7×7÷2－3×3÷2=20。这个四边形的面积是20。*例6：两个形状和大小都一样的直角三角形△ABC与△DEF，如右图放置，它们的面积都是100平方厘米，而每一个三角形在直角的顶点都恰好落在另一个直角三角形的斜边上，这两个直角三角形的重叠部分是一个长方形，那么四边形ADEC的面积是多少平方厘米？解：如右图，过D点到AC作DG垂直于AC，以AC为底，DG是平行四边形ADEC的高（D、B在平行于AC的同一直线上），因此，平均四边形ADEC的面积是△ABC的2倍，平行四边形ADEC的面积是：

1、00×2=200（平方厘米）四边形ADEC的面积是200平方厘米。应用练习十二1．在直角三角形ABC中，长方形ADEF的D在AB上，E在BC上，F在AC上，DB=15厘米，CF=6厘米，求长方形ADEF的面积。2．右图正方形ABCD的边长是10厘米，BO长8厘米，AE长多少厘米？3．右图平行四边形ABCD中，三角形ADO的面积是34，AOE的面积是17，平行四边形ABCD的面积是多少？4．有红、黄、绿大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间互相叠合（如右图），已知在外面的部分中，红色面积是36，黄色面积是20，绿色面积是16，求纸盒的正方形底面的面积。5．右图四边形ABCD中，AB=3BE，AD=3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边形BODC的面积是多少？6．右图平行四边形ABCD的面积是120平方厘米，AD=3AE，AF=3FC，三角形BEF的面积是多少平方厘米？*7．右图三角形的ABC的面积是360，AB=3AD，BC=4BE，CA=5CF，那么三角形DEF的面积是多少？*8．右图ABCD是长方形，AFOE是边长为6厘米的正方形，三角形AGH的面积是80平方厘米，ABCD的面积是多少平方厘米？课后练习十二1．用四块相同的等腰三角形纸片相互重叠在一起拼成右图所示的正方形（单位：厘米）。求阴影正方形的面积。2．右图三角形ABC的面积是18平方厘米，BC=CD，CE=2EA，三角形CDE的面积是多少平方厘米？3．右图长方形ABCG的长和宽分别是7和4，长方形DEFG的长和宽分别是10和2，求三角形BCM与三角形DEM的面积的差。4．右图三角形ABC的面积是15，BD=2DC，AE=ED，求阴影部分面积的和。5．右图三角形ABC的面积是1，BA延长到D，DA=AB，CB延长到E，EB=2BC，AC延长到F，FC=3CA，求三角形DEF的面积。

进行有关图形面积的计算，有时需要对图形进行平移、旋转、割补、比较等的处理，这样要添加一些线，这些在解题时添加的线叫做辅助线，通常画成虚线.

进行有关图形面积的计算，有时需要对图形进行平移、旋转、割补、比较等的处理，这样要添加一些线，这些在解题时添加的线叫做辅助线，通常画成虚线。

例1：右图三角形ABC是直角三角形，BDEF是正方形，D、E、F分别在三角形的三条边上，AF长4厘米，DC长9厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米？

解：只对已知图形进行推理，难于求出有关的长度和面积，但如右图那样在AC的另一侧作一个与三角形ABC相同的三角形AGC，并分别延长DE于AG交AG于H，延长FE于CG交CG于K，很明显，ABCG是一个长方形，在这个长方形中，甲=乙，丙=丁，戊=己，并且己的长EK=DC=9厘米，己的宽HE=AF=4厘米，己的面积是9×4=36（平方厘米），戊的面积也是36平方厘米，36=6×6，即BF=BD=6厘米，AB=4＋6=10（厘米），BC=6＋9=15（厘米），三角形ABC的面积是10×15÷2=75（平方厘米）。

三角形ABC的面积是75平方厘米。

例2：右图ABCD是长方形，在长方形中三角形，CDF的面积是12，三角形CEF的面积是6，求长方形ABCD的面积。

解：连结AE，如右图。三角形AEC和三角形DEC都以EC为底，这 两个三角形的高都等于长方形的宽，两个三角形的面积相等，那么三角形AEF的面积与三角形CDF的面积相等，都等于12。而三角形CDF和三角形CEF分别以DF和EF为底，两个三角形有相同的高，CDF的面积是CEF的12÷6=2倍，DF的长也是EF的2倍，三角形ADF和三角形AEF分别以DF和EF为底，两个三角形的高相同，DF是EF的2倍，三角形ADF的面积是三角形AEF的2倍，三角形ADF的面积是12×2=24，那么长方形ABCD的面积是（12＋24）×2=72。

长方形ABCD的面积是72。

例3：右图ABCD是边长为12厘米的正方形，CEFG是长方形，它的长是15厘米，宽是多少厘米。

解：连结DG（如右图）。三角形CDG以CD为底，它的高也等于正方形的边长，三角形CDG的面积是正方形ABCD的一半，三角形CDG如果以CG为底，它的高等于长方形的宽，CDG的面积是长方形CEFG的一半，因此，长方形CEFG和正方形ABCD面积相等，它的宽等于12×12÷15=9.6（厘米）。

宽是9.6厘米。

例4：右图ABCD是长方形，AE长6厘米，ED长18厘米，F是EB的中点，AB长12厘米，求图中阴影部分的面积。

解：连结AF（如右图），三角形ABF和三角形AEF分别以BF和FE为底，两个三角形的底相等，高相同，它们的面积相等。而三角形ABE的面积是6×12÷2=36（厘米），三角形AFE的面积是36÷2=18（厘米），三角形AFE和三角形DFE分别以AE和ED为底，两个三角形的高相同，ED是AE的18÷6=3倍，三角形DFE的面积是AFE的3倍，是18×3=54（平方厘米），那么，图中阴影部分的面积是（6＋18）×12－（54＋36）=198（平方厘米）。

阴影部分的面积是198平方厘米。

例5：右图一个四边形ABCD中，已知AD=7，BC=3，角B和角D是直角，角A是45°，求这个四边形的面积。

解：这个四边形可以看作是一个等腰直角三角形ADE切掉了一个等腰直角三角形BCE，如右图。就是说把原四边形的边AB、DC延长，相交于E，因为角A是45°，角D是90°，角E = 180°－45°－90°=45°，即三角形ADE是等腰直角三角形，又因为角ABC是90°，角CBE也是90°，角BCE = 180°－45°－90°=45°，所以三角形BCE也是等腰直角三角形。那么四边形ABCD的面积是这两个等腰直角三角形面积之差，即7×7÷2－3×3÷2=20。

这个四边形的面积是20。

*例6：两个形状和大小都一样的直角三角形△ABC与△DEF，如右图放置，它们的面积都是100平方厘米，而每一个三角形在直角的顶点都恰好落在另一个直角三角形的斜边上，这两个直角三角形的重叠部分是一个长方形，那么四边形ADEC的面积是多少平方厘米？

解：如右图，过D点到AC作DG垂直于AC，以AC为底，DG是平行四边形ADEC的高（D、B在平行于AC的同一直线上），因此，平均四边形ADEC的面积是△ABC的2倍，平行四边形ADEC的面积是：

100×2=200（平方厘米）

四边形ADEC的面积是200平方厘米。

应用练习十二

1．在直角三角形ABC中，长方形ADEF的D在AB上，E在BC上，F在AC上，DB=15厘米，CF=6厘米，求长方形ADEF的面积。

2．右图正方形ABCD的边长是10厘米，BO长8厘米，AE长多少厘米？

3．右图平行四边形ABCD中，三角形ADO的面积是34，AOE的面积是17，平行四边形ABCD的面积是多少？

4．有红、黄、绿大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间互相叠合（如右图），已知在外面的部分中，红色面积是36，黄色面积是20，绿色面积是16，求纸盒的正方形底面的面积。

5．右图四边形ABCD中，AB=3BE，AD=3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边形BODC的面积是多少？

6．右图平行四边形ABCD的面积是120平方厘米，AD=3AE，AF=3FC，三角形BEF的面积是多少平方厘米？

*7．右图三角形的ABC的面积是360，AB=3AD，BC=4BE，CA=5CF，那么三角形DEF的面积是多少？

*8．右图ABCD是长方形，AFOE是边长为6厘米的正方形，三角形AGH的面积是80平方厘米，ABCD的面积是多少平方厘米？

课后练习十二

1．用四块相同的等腰三角形纸片相互重叠在一起拼成右图所示的正方形（单位：厘米）。求阴影正方形的面积。

2．右图三角形ABC的面积是18平方厘米，BC=CD，CE=2EA，三角形CDE的面积是多少平方厘米？

3．右图长方形ABCG的长和宽分别是7和4，长方形DEFG的长和宽分别是10和2，求三角形BCM与三角形DEM的面积的差。

4．右图三角形ABC的面积是15，BD=2DC，AE=ED，求阴影部分面积的和。

5．右图三角形ABC的面积是1，BA延长到D，DA=AB，CB延长到E，EB=2BC，AC延长到F，FC=3CA，求三角形DEF的面积。